matlab——抽样函数 – 旧梦与新思

任务

对抽样函数Sa(t)了解不多，对其积分公式进行推导，并用matlab进行计算与绘图

matlab绘制函数图像

%调整图表尺度
scale=0.1;%尺度
count=10;%范围
%自动调整
unit=pi;
range=count*unit;
index=1;
x=zeros(round(count*pi*2/scale),1);
y=zeros(round(count*pi*2/scale),1);
for t=-range:scale:range
    x(index)=t;
    y(index)=sin(t)/t;
    index=index+1;    
end
plot(x,y);

上面的代码已经可以绘制抽样函数的图像，但为得到更直观的信息，进行下面的图像注释，参考：

MATLAB画图技巧：改变坐标轴刻度的显示数值
- 进行更改：matlab可用latex公式，因此用pi表示，并自动生成坐标轴范围
Matlab保存图像的5种方法
- saveas(gca, filename, fileformat)，其中的三个参数：
  1. gca：图形句柄，如果图形窗口标题栏是“Figure 3”,则句柄就是3；也可以直接用gcf获取当前窗口句柄。
  2. filename：单引号字符串，指定文件名
  3. fileformat：单引号字符串，指定存储格式
- 例子：
  - saveas(gcf,’save.jpg’); %保存当前窗口的图像
  - saveas(2,’save.jpg’); %保存Figure 2窗口的图像
在Matlab里面如何实现字符串的拼接
- 定义字符串：string=””
- 拼接函数：strcat({‘hello ‘},{‘world’});
- 附：文档

%控制坐标范围
axis([-inf,inf,-0.5,1.5]);
%生成横坐标刻度
labels="";
index=1;
interval=count/5;
for tick = -count:interval:count    
    labels(index)=(strcat({num2str(tick)},{'pi'}));
    index=index+1;
end
%设置图表标题/坐标刻度
rangeX=-range:pi*interval:range;
set(gca,'XTick',rangeX);
set(gca,'XTickLabel',labels);
title('Sampling Function');
xlabel('Radians');
ylabel('Function Value');
grid on;
%保存图片，以尺度与范围命名
filename=strcat('sampling-',num2str(scale),'-',num2str(count),'.png');
saveas(gca,filename);

求积分

如何计算上述积分？两种方法：

(1) $\begin{equation*} \int_{-\infty}^\infty Sa( t ) \,dt= \int_{-\infty}^\infty \frac{sint}{t} \,dt=\pi \end{equation*}$

由偶函数性质易得：

(2) $\begin{equation*} \int_{0}^\infty Sa( t ) \,dt= \frac{\pi}{2} \end{equation*}$

利用引入收敛因子，求含参变量的积分
傅里叶变换求解

对两种方法分别整理如下

含参变量积分

整理自作业帮回答

求取（2）

(3) $\begin{equation*} \int_{0}^\infty Sa( t ) \,dt= \frac{\pi}{2} \end{equation*}$

引入衰减项 $e^{-xt}$

(4) $\begin{equation*} I(x)=\int_{0}^\infty e^{-xt}\frac{sint}{t} \,dt \end{equation*}$

易得：

(5) $\begin{equation*} I(0)=\int_{0}^\infty \frac{sint}{t} \,dt = \int_{0}^\infty Sa( t ) \,dt \end{equation*}$

对I(x)求微分：

(6) $\begin{equation*} I'(x)=-\int_{0}^\infty e^{-xt}sint \,dt \end{equation*}$

利用分部积分公式求得：

(7) $\begin{equation*} I'(x)=e^{-xt}cost|_{0}^{\infty}+xe^{-xt}|_{0}^{\infty}-x^2I'(x) \end{equation*}$

整理得：

(8) $\begin{equation*} I'(x)=\frac{1}{1+x^2}(e^{-xt}cost+xe^{-xt})|_{0}^{\infty}=-\frac{1}{1+x^2} \end{equation*}$

则有：

(9) $\begin{equation*} I(x)=\int I'(x)=\int-\frac{1}{1+x^2}\,dx+C \end{equation*}$

(10) $\begin{equation*} I(x)=\int I'(x)=-arctanx+C \end{equation*}$

考虑 $x\rightarrow\infty$ 时,对于式（4）：

(11) $\begin{equation*} I(\infty)=\lim_{x\rightarrow\infty}(\int_{0}^\infty e^{-xt}\frac{sint}{t} \,dt)=0 \end{equation*}$

对于式（10））,则有：

(12) $\begin{equation*} I(\infty)=\lim_{x\rightarrow\infty}(-arctanx+C)=-\frac{\pi}{2}+C \end{equation*}$

联立两式（11）（12）即得：

(13) $\begin{equation*} C=\frac{\pi}{2} \end{equation*}$

代入式（10）：

(14) $\begin{equation*} I(x)=-arctanx+\frac{\pi}{2} \end{equation*}$

此时，代回最初的表达式（5），得到结果：

(15) $\begin{equation*} I(0)= \int_{0}^\infty Sa( t ) \,dt=\frac{\pi}{2} \end{equation*}$

Laplace变换

(16) $\begin{equation*} F(s)=\int_{0}{\infty} \frac{sint}{t}e^{-st}\,dt \end{equation*}$

(17) $\begin{equation*} F(0)=\int_{0}{\infty} \frac{sint}{t}\,dt=\int_{0}{\infty} Sa(t)\,dt \end{equation*}$

求取F(s),利用频域微分性质

(18) $\begin{equation*} F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt \end{equation*}$

(19) $\begin{equation*} F'(s)=-\int_{0}^{\infty}tf(t)e^{-st}\,dt \end{equation*}$

令

(20) $\begin{equation*} f_{1}(t)=tf(t) \end{equation*}$

(21) $\begin{equation*} F_{1}(s)=-F(s) \end{equation*}$

(22) $\begin{equation*} F(s)=-\int F_{1}(s)\,ds \end{equation*}$

对于本式，有：

(23) $\begin{equation*} f_{1}(t)=sint \end{equation*}$

(24) $\begin{equation*} F_{1}(t)=\frac{1}{1+s^2} \end{equation*}$

代入（22）得：

(25) $\begin{equation*} F(s)=-\int\frac{1}{1+s^2}\,ds=-arctans+C \end{equation*}$

同上，将s->∞代入可得

(26) $\begin{equation*} C=\frac{\pi}{2} \end{equation*}$

代入式（25）：

(27) $\begin{equation*} F(s)=-arctans+\frac{\pi}{2} \end{equation*}$

此时，代回最初的表达式（17），得到结果：

(28) $\begin{equation*} F(0)= \int_{0}^\infty Sa( t ) \,dt=\frac{\pi}{2} \end{equation*}$

其他解法

可以通过傅里叶变换求解，分别求取sint与1/t的傅里叶变换，再进行卷积

(29) $\begin{equation*} F_1(w)=-j\pi(\sigma(w-1)-\sigma(w+1)) \end{equation*}$

(30) $\begin{equation*} F_2(w)=-j\pisgn(w) \end{equation*}$

利用复变函数的留数求解，但奇点在积分路径上，因此不寻常

参考：

为什么狄利克雷积分是pi/2？？

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