数值分析-引论

任务 整理引论中提到的一些算法 秦九韶算法 多项式计算f(x) 计算多项式,形式如: a0x^n+a1x^n-1+a2x^n-2+…+an-1x+an 通过合并多项式,降低运算次数 根本源于: a0*x^n+a1*x^n-1=(a0x+a1)*x^n-1 由此可得: b0=a0 bi=bi-1*x+ai 最终,bn为所求 求导f'(x*) f(x)=(x-x*)(b0x^n-1+b1x^n-2+…+bn-1)+bn 解释上式——通过迭代: (x-x*)(b0x^n-1)=b0x^n-b0x^n-1x* (x-x*)(b1x^n-2)=b1x^n-1-b1x^n-2x*=(b0x*+a1)x^n-1-b1x^n-2x*=b0x^n-1x*+a1x^n-1-b1x^n-2x* 则递推公式,可消去末项,得到 a0x^n+a1x^n-1+a2x^n-2+…+an-1x+an 得到证明,故可通过求上述导,即令 q(x)=(b0x^n-1+b1x^n-2+…+bn-1) p'(x)=q(x)+(x-x*)q'(x) p'(x*)=q(x*) 利用上一部分的多项式计算法则可得结果 迭代法 开方转化为四则运算,计算√a 可以取:xk+1=1/2(xk+a/xk) 结果: 可见收敛的速度很快,但当a取500000时,10次迭代与内置结果有一定出入,将初值取值改为自适应 思考,当数目较大时,开方结果的位数与数字的一半位数接近,则取初值为一半位数 这样对于较大数字,选取的初值接近最终结果,更快收敛效果 以直代曲和化整为零 非线性问题线性化 直线近似曲线 方程求根 牛顿迭代法 微积分 梯形公式 圆周率 割圆法 加权平均的松弛技术 这是最没有认知的一部分,是计算方法提高收敛速度的一种有效方法。 x0于x1为x*的两个近似值, x=x1+w(x1-x0)=(1+w)x1-wx0 w选取适当可逼近真值,但选取困难。