工程力学难题：宽为b、高为h的矩形截面梁静不定连续梁ABC

题目

宽为b、高为h的矩形截面梁静不定连续梁ABC如图弹性模量为E屈服强度为σys。

试求各处支反力
试求梁的屈服载荷qs和极限载荷qu

求支反力

力的平衡方程

(1) $\begin{equation*} \sum F_{x}=0 \Rightarrow F_{A_{x}}=0 \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} \left.\begin{matrix} \sum F_{y}=0 \Rightarrow F_{A_{y}}+F_{B}+F_{C}=2qL \\ M_{A}(F)=0 \Rightarrow F_{B}\cdot L+F_{C}\cdot 2L -2qL\cdot L=0 \\ \end{matrix}\right\}\Rightarrow F_{A_{y}}=F_{C}=\frac{1}{2}(2qL-F_{B} ) \end{equation*}$

几何变形协调

补充知识

挠度方程

这里需要用到挠曲线的近似微分方程

(3) $\begin{equation*} y''(x)=\frac{M(x)}{EI_{z}} \end{equation*}$

由此积分推得：

但确定常数C1和C2是个较为复杂的过程，因此为简化计算，我们可以采用叠加法

叠加法

基本模型

我们按照叠加法，将本题的受力分为两部分：

前者的模型是一个被普遍讨论的，有具体的过程讨论：

分解1

则将L=2a,b=a,x=a代入上式得：

(4) $\begin{equation*} y_{B1}=\frac{F_{B}a^{3}}{6EI_{z}} \end{equation*}$

分解2

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同样是上面的分析过程：

1.对受力平衡分析求支反力

(5) $\begin{equation*} \left.\begin{matrix} F_{A_{y}}+F_{C}=qL\\ M_{A}(F)=0 \end{matrix}\right\}\Rightarrow F_{A_{y}}=F_{C}=\frac{1}{2}qL \end{equation*}$