工程力学难题：宽为b、高为h的矩形截面梁静不定连续梁ABC

题目

宽为b、高为h的矩形截面梁静不定连续梁ABC如图弹性模量为E屈服强度为σys。

1. 试求各处支反力
2. 试求梁的屈服载荷qs和极限载荷qu

求支反力

力的平衡方程

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\begin{equation}
\sum F_{x}=0 \Rightarrow F_{A_{x}}=0
\end{equation}
\begin{equation} \label{eq:main}
\left.\begin{matrix}
\sum F_{y}=0 \Rightarrow F_{A_{y}}+F_{B}+F_{C}=2qL \\
M_{A}(F)=0 \Rightarrow F_{B}\cdot L+F_{C}\cdot 2L -2qL\cdot L=0 \\
\end{matrix}\right\}\Rightarrow F_{A_{y}}=F_{C}=\frac{1}{2}(2qL-F_{B} )
\end{equation}

几何变形协调

补充知识

挠度方程

这里需要用到挠曲线的近似微分方程

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\begin{equation}
y”(x)=\frac{M(x)}{EI_{z}}
\end{equation}

由此积分推得：

但确定常数C1和C2是个较为复杂的过程，因此为简化计算，我们可以采用叠加法

叠加法

基本模型

我们按照叠加法，将本题的受力分为两部分：

前者的模型是一个被普遍讨论的，有具体的过程讨论：

分解1

则将L=2a,b=a,x=a代入上式得：

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\begin{equation} \label{eq:decomposition1}
y_{B1}=\frac{F_{B}a^{3}}{6EI_{z}}
\end{equation}

分解2

同样是上面的分析过程：

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1.对受力平衡分析求支反力
\begin{equation}
\left.\begin{matrix}
F_{A_{y}}+F_{C}=qL\\
M_{A}(F)=0
\end{matrix}\right\}\Rightarrow F_{A_{y}}=F_{C}=\frac{1}{2}qL
\end{equation}
2.列写弯矩方程
\begin{equation}
M(x)= F_{A_{y}}x-\frac{1}{2}qx^{2}
\end{equation}
\begin{equation}
M(x)=\frac{1}{2}qLx-\frac{1}{2}qx^{2}
\end{equation}
3.写挠曲线微分方程并积分
\begin{equation}
EI_{z}y”=M(x)=\frac{1}{2}qLx-\frac{1}{2}qx^{2}
\end{equation}
转角：
\begin{equation}
EI_{z}\theta =EI_{z}y’=\int M(x)+C_{1}=\frac{1}{4}qLx^2-\frac{1}{6}qx^{3}+C_{1}
\end{equation}
弯矩：
\begin{equation} \label{eq:curly}
EI_{z}y=\int\int M(x)dxdx+C_{1}x+C_{2}=\frac{1}{12}qLx^3-\frac{1}{24}qx^{4}+C_{1}x+C_{2}
\end{equation}
4.确定积分常数
由边界条件：
\begin{equation}
y_{0}=y_{2a}=0
\end{equation}
代入公式(\ref{eq:curly})可得：
\begin{equation}
\begin{matrix}
C_{1}=-\frac{1}{24}qL^3\\
C_{2}=0
\end{matrix}
\end{equation}
将C1，C2代入公式(\ref{eq:curly})得到最终的挠度方程为：
\begin{equation} \label{eq:result}
EI_{z}y=\int\int M(x)dxdx+C_{1}x+C_{2}=\frac{1}{12}qLx^3-\frac{1}{24}qx^{4}+-\frac{1}{24}qL^3x
\end{equation}
将x=a代入公式(\ref{eq:result})得到：
\begin{equation} \label{eq:decomposition2}
y_{B2}=-\frac{5qa^4}{24EI_{z}}
\end{equation}

合成最终解

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由
\begin{equation}
y_{B}=y_{B1}+y_{B2}=0
\end{equation}
联立(\ref{eq:decomposition1}) (\ref{eq:decomposition2})可得：
\begin{equation}
F_{B}=\frac{5}{4}qa
\end{equation}
代入(\ref{eq:main})得:
\begin{equation}
F_{A_{y}}=F_{C}=\frac{3}{8}qa
\end{equation}

屈服载荷与极限载荷

分布画出剪力图与弯矩图：

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由弯矩图可知：
\begin{equation}
M_{max}=M_{B}=\frac{1}{8}qa^2
\end{equation}

屈服载荷

极限载荷