过程控制系统调节规律的数学解释

任务

基础不牢,地动山摇。对过程控制的课程没有系统学习过,因此还是觉得从头看起,连贯下来倒是收获不小,在此归纳整理。

模型建立

从最简单的模型开始:

自衡无滞后单容对象

关键词

  • 自衡:指的是系统中存在着对所关注的变量的变化有固定的负反馈作用,该作用总是力图恢复系统的平衡
  • 无滞后:阀门开启,立即影响控制对象
  • 单容:单个容器,单个控制对象

抽象模型

Q1:液体流入量,对象的输入量
Q2:液体流出量
h:液位,对象的输出量
R1,R2为液阻
A:液箱底面积,容量系数

数学公式

[latexpage]
数学模型:
\begin{equation}
Q_{1}-Q_{2}=A\frac{dh}{dt}
\end{equation}
\begin{equation}
Q_{2}\approx \frac{h}{R_{2}}
\end{equation}
取增量:
\begin{equation}
\Delta Q_{1}-\Delta Q_{2}=A\frac{d\Delta h}{dt}
\end{equation}
\begin{equation}
\Delta Q_{2}\approx \frac{\Delta h}{R_{2}}
\end{equation}
消去中间变量得微分方程:
\begin{equation}
\Delta Q_{1}= A\frac{d\Delta h}{dt}+\frac{\Delta h}{R_{2}}
\end{equation}

\begin{equation}
T_{0}\frac{d\Delta h}{dt}+{\Delta h}={K_{0}}\Delta Q_{1}
\end{equation}

其中: T0为时间常数, K0为放大系数。

小结


1) 定关系(应用物料或能量平衡原理);
2) 取增量(线性化);
3) 去中间(中间变量),得方程(输入输出关系);
4) 算比值(拉氏变换),得传函(传递函数)。

系统框图

将余差输入到调节器/控制器controller,经过P(ID)控制算法调节后,再输出到调节阀walve,通过调节控制参数以及扰动综合影响被控对象。

余差则来自输入(给定值)与被控参数之间的差值。

以上,除调节器处的传递函数由PID控制算法的参数决定外,其余模块的传递函数在系统确定后,便是固定不变的。

利用拉氏变换的终值定理可以得到:

  • 在单纯比例控制或比例微分控制下,扰动引起的余差与Kc有关,成反比。
  • 在比例为基础情况下加入积分控制,则可消除扰动引起的余差(lim y -> 0)

另一方面,动态的稳定性需要分析特征方程,衰减系数ξ与Kc相关,当0<ξ<1时,系统发生衰减振荡,是理想的控制过程。一般取ξ在(0.5,0.8)

小结

  1. 积分控制规律主要用于消除余差;
  2. 微分控制规律主要用于改善动态特性;
  3. 比例控制规律为调节器的主体;
  4. 实际调节器设有P、I、D功能,适当组合,
    分别可得P、PI、PD及PID调节规律。当TI置于无穷大时,
    积分作用消失,当 Td =0 时,微分作用消失。

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