过程控制系统调节规律的数学解释

积分控制规律主要用于消除余差；
微分控制规律主要用于改善动态特性；
比例控制规律为调节器的主体；

任务

基础不牢，地动山摇。对过程控制的课程没有系统学习过，因此还是觉得从头看起，连贯下来倒是收获不小，在此归纳整理。

从最简单的模型开始：

Q1：液体流入量，对象的输入量
Q2：液体流出量
h：液位，对象的输出量
R1，R2为液阻
A：液箱底面积,容量系数

数学模型:

(1) $\begin{equation*} Q_{1}-Q_{2}=A\frac{dh}{dt} \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} Q_{2}\approx \frac{h}{R_{2}} \end{equation*}$

取增量：

(3) $\begin{equation*} \Delta Q_{1}-\Delta Q_{2}=A\frac{d\Delta h}{dt} \end{equation*}$

(4) $\begin{equation*} \Delta Q_{2}\approx \frac{\Delta h}{R_{2}} \end{equation*}$

消去中间变量得微分方程：

(5) $\begin{equation*} \Delta Q_{1}= A\frac{d\Delta h}{dt}+\frac{\Delta h}{R_{2}} \end{equation*}$

或

(6) $\begin{equation*} T_{0}\frac{d\Delta h}{dt}+{\Delta h}={K_{0}}\Delta Q_{1} \end{equation*}$

其中： T0为时间常数， K0为放大系数。

1) 定关系（应用物料或能量平衡原理）；
2) 取增量（线性化）；
3) 去中间（中间变量），得方程（输入输出关系）；
4) 算比值（拉氏变换），得传函（传递函数）。

将余差输入到调节器/控制器controller，经过P(ID)控制算法调节后，再输出到调节阀walve，通过调节控制参数以及扰动综合影响被控对象。

余差则来自输入（给定值）与被控参数之间的差值。

以上，除调节器处的传递函数由PID控制算法的参数决定外，其余模块的传递函数在系统确定后，便是固定不变的。

利用拉氏变换的终值定理可以得到：

另一方面，动态的稳定性需要分析特征方程，衰减系数ξ与Kc相关，当0<ξ<1时，系统发生衰减振荡，是理想的控制过程。一般取ξ在(0.5,0.8)

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