匹配滤波器

信号矢量空间

空间是指赋予某种数学结构的集合

引入线性运算的矢量集合	线性空间
引入矢量长度“范数”	线性赋范空间
引入矢量间相互关系“内积”	内积空间

不同的空间具有相应数学运算规则、定理。信号的能量与矢量空间的长度可以类比，对于常用的范数||·||₁、||·||₂、||·||_∞，在信号空间中具有的物理意义分别是强度、能量与幅值。

为了对能量无限如周期信号物理概念的描述，引入类似范数的平均值（直流分量）、平均功率。

此后，很多能量有限信号的定义对于功率有限信号失去意义，采用相似的推广方式得到可类比的定义。如相关、能量谱->功率谱

柯西——施瓦茨不等式的证明

信号的正交函数分解

求f1(t)=C12f2(t)中C12的推导：

而最终求最小方均误差的方法（一般情况推导戳链接）：

帕塞瓦尔定理

对于完备正交函数满足帕塞瓦尔方程

• 物理意义：一个信号的功率恒等于在完备正交函数集上各分量的功率之和
• 数学意义：矢量空间信号的范数（内积）不变性
  • <f(t),f(t)>=<c,c>

相关

重点捋清能量信号的章节内容，功率信号可类比得出，主干清晰，减少篇幅：

匹配滤波器

h(t)=s(T-t)

matlab实现

例题

例6-7在测距系统中，发送信号s(t),以匹配滤波器接收回波信号,利用滤波器输出信号峰值出现的时间折算目标距离。如果有两种可供选择的s(t)信号,分别如图6- 22(a)的s1(t)和(b)的s2(t)。求:
(1)分别画出s1(t)和s2(t)自相关函数波形R11(t)和R22(t)。
(2)为改善测距精度,你认为应选用s1(t)或s2(t)两种脉冲的哪一种信号?

基本思路

• 将非周期信号表示出来
  • matlab中的heaviside(t)函数表示阶跃函数，可以通过其的时移、叠加将题目的输入信号表示
• 将相关函数表示
  • 积分通过函数int(f,t,a,b)实现：对函数f的自变量t从a到b积分
• 匹配滤波器就是相关函数的时移
• 整体的函数通过定义的符号变量实现

完整代码

定义部分

clear all
%fake inferior
finf=100;
%周期
T=2;
syms t tau;
%定义输入函数
s1(t)=heaviside(t)-heaviside(t-2);
s2(t)=heaviside(t)-2*heaviside(t-1)+heaviside(t-2);
%定义自相关函数
R1(tau)=int(s1(t)*s1(t-tau),t,-finf,finf);
R2(tau)=int(s2(t)*s2(t-tau),t,-finf,finf);
%定义互相关函数
R12(tau)=int(s1(t)*s2(t-tau),t,-finf,finf);
R21(tau)=int(s2(t)*s1(t-tau),t,-finf,finf);

绘图部分

%绘制
subplot(421)
fplot(s1)
title('first signal')
%xlim([-1,3])
ylim([-1,2])
grid on
subplot(422)
fplot(s2)
title('second signal')
%xlim([-1,3])
ylim([-2,2])
grid on
%绘制
subplot(423)
fplot(R1)
title('信号s1的自相关函数R1')
ylabel('R1(\tau)')
xlabel('\tau')
ylim([-2,3])
subplot(424)
fplot(R2)
title('信号s2的自相关函数R2')
ylabel('R2(\tau)')
xlabel('\tau')
ylim([-2,3])
%绘制
subplot(425)
fplot(R12)
title('信号s1与信号s2的互相关函数R12')
ylabel('R1(\tau)')
xlabel('\tau')
ylim([-2,3])
subplot(426)
fplot(R21)
title('信号s2与信号s1的互相关函数R2')
ylabel('R2(\tau)')
xlabel('\tau')
ylim([-2,3])
%对于匹配滤波器的输出为时移T后的结果
subplot(427)
fplot(R1(tau-T))
title('信号s1对应匹配滤波器的输出结果')
ylabel('R1(\tau-T)')
xlabel('\tau')
subplot(428)
fplot(R2(tau-T))
title('信号s2对应匹配滤波器的输出结果')
ylabel('R2(\tau-T)')
xlabel('\tau')
%保存图片
filename=strcat('matchedFilter.png');
saveas(gca,filename,'png')

输出图片