任务
对抽样函数Sa(t)了解不多，对其积分公式进行推导，并用matlab进行计算与绘图
matlab绘制函数图像
%调整图表尺度
scale=0.1;%尺度
count=10;%范围
%自动调整
unit=pi;
range=count*unit;
index=1;
x=zeros(round(count*pi*2/scale),1);
y=zeros(round(count*pi*2/scale),1);
for t=-range:scale:range
x(index)=t;
y(index)=sin(t)/t;
index=index+1;
end
plot(x,y);
上面的代码已经可以绘制抽样函数的图像，但为得到更直观的信息，进行下面的图像注释，参考：
- MATLAB画图技巧：改变坐标轴刻度的显示数值
- 进行更改：matlab可用latex公式，因此用pi表示，并自动生成坐标轴范围
- Matlab保存图像的5种方法
- saveas(gca, filename, fileformat)，其中的三个参数：
- gca：图形句柄，如果图形窗口标题栏是“Figure 3”,则句柄就是3；也可以直接用gcf获取当前窗口句柄。
- filename：单引号字符串，指定文件名
- fileformat：单引号字符串，指定存储格式
- 例子：
- saveas(gcf,’save.jpg’); %保存当前窗口的图像
- saveas(2,’save.jpg’); %保存Figure 2窗口的图像
- saveas(gca, filename, fileformat)，其中的三个参数：
- 在Matlab里面如何实现字符串的拼接
- 定义字符串：string=””
- 拼接函数：strcat({‘hello ‘},{‘world’});
- 附：文档
%控制坐标范围
axis([-inf,inf,-0.5,1.5]);
%生成横坐标刻度
labels="";
index=1;
interval=count/5;
for tick = -count:interval:count
labels(index)=(strcat({num2str(tick)},{'pi'}));
index=index+1;
end
%设置图表标题/坐标刻度
rangeX=-range:pi*interval:range;
set(gca,'XTick',rangeX);
set(gca,'XTickLabel',labels);
title('Sampling Function');
xlabel('Radians');
ylabel('Function Value');
grid on;
%保存图片，以尺度与范围命名
filename=strcat('sampling-',num2str(scale),'-',num2str(count),'.png');
saveas(gca,filename);
当t=0时，Sa(t)=1;
当t=kpi(k<>0),Sa(t)=0
求积分
如何计算上述积分？两种方法：
\begin{equation} \label{eq:1}
\int_{-\infty}^\infty
Sa( t )
\,dt=
\int_{-\infty}^\infty
\frac{sint}{t}
\,dt=\pi
\end{equation}
由偶函数性质易得：
\begin{equation} \label{eq:2}
\int_{0}^\infty
Sa( t )
\,dt=
\frac{\pi}{2}
\end{equation}
- 利用引入收敛因子，求含参变量的积分
- 傅里叶变换求解
对两种方法分别整理如下
含参变量积分
整理自作业帮回答
[latexpage]
求取（\ref{eq:2}）
\begin{equation}
\int_{0}^\infty
Sa( t )
\,dt=
\frac{\pi}{2}
\end{equation}
引入衰减项$e^{-xt}$
\begin{equation} \label{eq:3}
I(x)=\int_{0}^\infty
e^{-xt}\frac{sint}{t}
\,dt
\end{equation}
易得：
\begin{equation} \label{eq:8}
I(0)=\int_{0}^\infty
\frac{sint}{t}
\,dt
=
\int_{0}^\infty
Sa( t )
\,dt
\end{equation}
对I(x)求微分：
\begin{equation}
I'(x)=-\int_{0}^\infty
e^{-xt}sint
\,dt
\end{equation}
利用分部积分公式求得：
\begin{equation}
I'(x)=e^{-xt}cost|_{0}^{\infty}+xe^{-xt}|_{0}^{\infty}-x^2I'(x)
\end{equation}
整理得：
\begin{equation}
I'(x)=\frac{1}{1+x^2}(e^{-xt}cost+xe^{-xt})|_{0}^{\infty}=-\frac{1}{1+x^2}
\end{equation}
则有：
\begin{equation}
I(x)=\int I'(x)=\int-\frac{1}{1+x^2}\,dx+C
\end{equation}
\begin{equation} \label{eq:4}
I(x)=\int I'(x)=-arctanx+C
\end{equation}
考虑$x\rightarrow\infty$时,对于式（\ref{eq:3}）：
\begin{equation}\label{eq:5}
I(\infty)=\lim_{x\rightarrow\infty}(\int_{0}^\infty
e^{-xt}\frac{sint}{t}
\,dt)=0
\end{equation}
对于式（\ref{eq:4}））,则有：
\begin{equation}\label{eq:6}
I(\infty)=\lim_{x\rightarrow\infty}(-arctanx+C)=-\frac{\pi}{2}+C
\end{equation}
联立两式（\ref{eq:5}）（\ref{eq:6}）即得：
\begin{equation}
C=\frac{\pi}{2}
\end{equation}
代入式（\ref{eq:4}）：
\begin{equation} \label{eq:7}
I(x)=-arctanx+\frac{\pi}{2}
\end{equation}
此时，代回最初的表达式（\ref{eq:8}），得到结果：
\begin{equation}
I(0)=
\int_{0}^\infty
Sa( t )
\,dt=\frac{\pi}{2}
\end{equation}
Laplace变换
[latexpage]
\begin{equation}
F(s)=\int_{0}{\infty}
\frac{sint}{t}e^{-st}\,dt
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:10}
F(0)=\int_{0}{\infty}
\frac{sint}{t}\,dt=\int_{0}{\infty}
Sa(t)\,dt
\end{equation}
求取F(s),利用频域微分性质
\begin{equation}
F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt
\end{equation}
\begin{equation}
F'(s)=-\int_{0}^{\infty}tf(t)e^{-st}\,dt
\end{equation}
令
\begin{equation}
f_{1}(t)=tf(t)
\end{equation}
\begin{equation}
F_{1}(s)=-F(s)
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:9}
F(s)=-\int F_{1}(s)\,ds
\end{equation}
对于本式，有：
\begin{equation}
f_{1}(t)=sint
\end{equation}
\begin{equation}
F_{1}(t)=\frac{1}{1+s^2}
\end{equation}
代入（\ref{eq:9}）得：
\begin{equation}\label{eq:11}
F(s)=-\int\frac{1}{1+s^2}\,ds=-arctans+C
\end{equation}
同上，将s->∞代入可得
\begin{equation}
C=\frac{\pi}{2}
\end{equation}
代入式（\ref{eq:11}）：
\begin{equation} \label{eq:7}
F(s)=-arctans+\frac{\pi}{2}
\end{equation}
此时，代回最初的表达式（\ref{eq:10}），得到结果：
\begin{equation}
F(0)=
\int_{0}^\infty
Sa( t )
\,dt=\frac{\pi}{2}
\end{equation}
其他解法
可以通过傅里叶变换求解，分别求取sint与1/t的傅里叶变换，再进行卷积
[latexpage]
\begin{equation}
F_1(w)=-j\pi(\sigma(w-1)-\sigma(w+1))
\end{equation}
\begin{equation}
F_2(w)=-j\pisgn(w)
\end{equation}
利用复变函数的留数求解，但奇点在积分路径上，因此不寻常
参考：